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Demonstração II – Outras Relações da Função Zeta de Riemann

13 de dezembro de 2012 Deixe um comentário

De modo análogo ao feito em Demonstração I, pode-se mostrar que

que é uma forma mais geral que o demonstrado em Demonstração I.

Apartir dessa relação pode-se obter varias outras, como por exemplo:

  • fazendo , temos:

onde   é a quantidade de divisores de

  • fazendo , temos:

onde  é a soma dos divisores de

  • fazendo , temos:

onde  é a Função de Möbius

Propriedades da Função Zeta de Riemann

28 de novembro de 2012 Deixe um comentário

i)  , 

ii) 

iii)   , , onde    é o número de divisores de 

iv)   onde    é a soma dos divisores de 

v)    onde  é o conjugado de 

vi)  , , onde  é a Função de Möbius, (Demonstração)

vii)     onde  é a função gama

viii) 

ix) , onde  é a derivada de ordem n da função zeta no ponto s

x) 

xi) 

outros sites:

Função Zeta de Riemann « Hipótese de Riemann

Valores da Função Zeta de Riemann « Hipótese de Riemann

Valores da Função Zeta de Riemann

27 de novembro de 2012 1 comentário

   se  , onde  são os Números de Bernoulli

   se 

   se   

Função Zeta de Riemann

26 de novembro de 2012 4 comentários

Definição

A função zeta de Riemann é definida por

\zeta(s) = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-s}   quando   \mathrm{Re}(s)>1.

No caso dos números complexos com a parte real menor ou igual a 1 a função zeta de Riemann pode ser definida por continuação analítica da expressão acima.

Essa função é importante devido à Hipótese de Riemann, que é o assunto principal do blog.

Exemplos

ou seja, a soma dos inversos dos quadrados de todos os naturais é igual a .

Esse resultado foi encontrado pela primeira vez por Leonard Euler em 1735.

Esse é um número irracional, também conhecido como Constante de Apéry, e ninguém sabe se  é ou não racional, como acontece com todos os valores de  quando n é par.

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