Prémio Millenium

14 de dezembro de 2012 1 comentário

Os Problemas do Prémio Millenium são sete problemas matemáticos em aberto. Este projeto foi iniciado pelo Clay Mathematics Institute (Instituto Clay de Matemática). Presentemente, seis desses problemas permanecem por resolver. A correcta solução de cada problema resulta num prémio de um milhão de dólares com que o Instituto premia quem resolve-los.

Apenas a Conjectura de Poincaré já foi resolvida.

Lista dos problemas:

P versus NP
A conjectura de Hodge
A conjectura de Poincaré (resolvido por Grigori Perelman)
Hipótese de Riemann
A existência de Yang-Mills e a falha na massa
A existência e suavidade de Navier-Stokes
A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Outros Sites:

Problemas do Prémio Millenium – Wikipédia, a enciclopédia livre

Hipótese de Riemann

14 de dezembro de 2012 2 comentários

A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann.

Ela Afirma que os zeros não triviais da Função Zeta de Riemann estão todos na linha crítica, em outras palavras, tem a parte real igual a .

Os zeros triviais são os inteiros pares negativos.

A hipótese de Riemann é considerada um dos problemas mais importantes ainda não resolvidos na matemática, fazendo com que ele constasse na lista dos 7 problemas do milênio, sendo oferecido um prêmio de 1 milhão  de dólares para quem o resolver.

outros sites:

Hipótese de Riemann – Wikipédia, a enciclopédia livre

Problemas do Prémio Millenium – Wikipédia, a enciclopédia livre

Prémio Millenium « Hipótese de Riemann

The Riemann Hypothesis (HD Long Version) – YouTube

Lista dos 100 primeiros zeros com 1000 casas decimais www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/zeros2

Lista dos 100000 primeiros zeros www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/zeros1

Demonstração II – Outras Relações da Função Zeta de Riemann

13 de dezembro de 2012 Deixe um comentário

De modo análogo ao feito em Demonstração I, pode-se mostrar que

que é uma forma mais geral que o demonstrado em Demonstração I.

Apartir dessa relação pode-se obter varias outras, como por exemplo:

  • fazendo , temos:

onde   é a quantidade de divisores de

  • fazendo , temos:

onde  é a soma dos divisores de

  • fazendo , temos:

onde  é a Função de Möbius

Demonstração I

10 de dezembro de 2012 4 comentários

Propriedade:

onde:

 é a Função de Möbius e

 é a Função Zeta de Riemann.

Demonstração:

Seja:

Isso é igual a:

Note que pra cada  aparece somente com os denominadores cujas bases são multiplos de , ou seja, para cada denominador , o valor que está no numerador será o somatório:

Assim:

Mas como sabemos que

 e

 para  (Propriedade ii de Função de Möbius), então:

dividindo ambos os membros por , segue:

como queriamos provar.

Constante de Euler-Mascheroni

10 de dezembro de 2012 Deixe um comentário

A constante de Euler-Mascheroni é definida como:

As 100 primeiras decimais dessa constante são

 

Em 1781 Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

Outros sites:

Constante de Euler-Mascheroni – Wikipédia, a enciclopédia livre

Constante de Apéry

10 de dezembro de 2012 2 comentários

A constante de Apéry é definido como sendo o número , ou seja:

que tem o valor aproximado de

Esse nome foi dado em homenagem ao matemático Roger Apéry que o provou ser irracional em 1977, resultado conhecido então por teorema de Apéry.

A recíproca desse número é a probabilidade de três números inteiros positios quaisquer serem primos entre si.

outros sites:

Constante de Apéry – Wikipédia, a enciclopédia livre

numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html

 

Função de Möbius

10 de dezembro de 2012 4 comentários

A função de Möbius, representada pela letra grega  (mu), foi definida pelo matemático alemão A.F. Möbius em 1831 da seguinte forma:

, se n for o produto de k primos distintos;

, se n tiver algum fator primo repetido na sua fatoração

Propriedades:

i) Propriedade multiplicativa

Se mdc(a,b)=1, então 

ii)

iii) Relação com a  Função Zeta de Riemann

 (Demonstração)

Números de Bernoulli

28 de novembro de 2012 1 comentário

Os números de Bernoulli podem ser definido como os coeficientes da expansão de taylor:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n=\frac{x}{e^x-1}

seus valores são:

outros sites:

Números de Bernoulli Generator

Bernoulli Number — from Wolfram MathWorld

Números de Bernoulli – Wikipédia, a enciclopédia livre

Propriedades da Função Zeta de Riemann

28 de novembro de 2012 Deixe um comentário

i)  , 

ii) 

iii)   , , onde    é o número de divisores de 

iv)   onde    é a soma dos divisores de 

v)    onde  é o conjugado de 

vi)  , , onde  é a Função de Möbius, (Demonstração)

vii)     onde  é a função gama

viii) 

ix) , onde  é a derivada de ordem n da função zeta no ponto s

x) 

xi) 

outros sites:

Função Zeta de Riemann « Hipótese de Riemann

Valores da Função Zeta de Riemann « Hipótese de Riemann

Valores da Função Zeta de Riemann

27 de novembro de 2012 1 comentário

   se  , onde  são os Números de Bernoulli

   se 

   se   

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